ドップラー

Ａ：「ｈ＝Ａ/γのときには、ｄｈ/ｄｔ＝０から、ｈ（ｔ）＝ｈ0
　　ｖ（ｔ）/ｘ（ｔ）＝ｈ0　を解くと　ｘ0＝ｘ(ｔ0)として、ｘ（ｔ）＝ｘ0・exp (ｈ0・ｔ）が出る。」
Ｇ：「宇宙は劇的に膨れ上がっていくことになるわ。
　　　ところで、星の速度はどうやって測定するのか知ってる？」
Ａ：「ドップラー効果を使うんだ。
　　運動量Ｐ1とＰ0のローレンツ変換式で、アインシュタイン・ドブロイ関係式からＰ1＝ｋ1,Ｐ0＝ω/cを使えば、こうなる（＊１）。」
Ｇ：「真空中での光の波数ベクトルｋの大きさ｜ｋ｜＝Ｐ0だから、ｋがｘ1軸となす角度をθとすると、
｜ｋ|cosθ＝ｋ1になる。　これを使って２つの式（＊２）がでるわね。」
Ａ：「β＞０でθ＝πのときはこうで（＊３）、
　　　β＜０でθ＝πのときはこうなる（＊４）。縦ドップラー効果といわれる現象だ。
　　　βが１よりずっと小さい場合、波長の変化は（λ1-λ’1）/λ’1≒±｜β｜となる。
　　　＋｜β｜なら波長が長くなって赤方偏移で、
　　　 -｜β｜なら波長が短くなって青方偏移というワケ。」
Ｇ：「天文学科に入ってから、少しは真面目にやってるようね。
　　θ＝π/２のときには、ω＝ω’/γで、横ドップラー効果よ。
　　ｋ’1の方はこうなるわ（＊５）。」
Ａ：「βが１よりずっと小さいと、ω≒ω’・（１−β^2/２)となる。
　　視線方向に対して横方向の光の角周波数が変化してみえるってのは、ちょっと意外だ。」

（＊１）
　　ｋ’1＝γ・（ｋ1-β・（ω/ｃ））
　
　　ω’/ｃ＝γ・（（ω/ｃ）-β・ｋ1）

（＊２）
　　ω＝ω’・（√（１−β^2））/（１−β・cosθ）
　
　　ｋ1＝ｋ’1・（√（１−β^2））/（１−β/cosθ）

（＊３）
　　ω＝ω’・√(（１−β）/（１＋β））
　
　　ｋ1＝ｋ’1・√（（１−β）/（１＋β））
　　
（＊４）
　　ω＝ω’・√(（１＋｜β｜）/（１-｜β｜））
　
　　ｋ1＝ｋ’1・√(（１＋｜β｜）/（１-｜β｜））

（＊５）
　　ｋ’1＝−γ・β・√（ｋ2＾２＋ｋ3＾２）