成長

Ａ：「星の平均後退速度Ｖと距離ｘなんて、かなりバラツキが大きいのに、比例関係が出てくるなんて、よく思い付いたもんだ。　ｖ（ｔ）＝ｈ（ｔ）・ｘ（ｔ）から何か導きだせないの？」
Ｇ：「星の質量をｍとすると、運動量ｐはｍ・γ・ｖだから（１/γ＝√（１−β^2））、
　　　固有時間τで微分すると、この式（＊１）が出せるわ。」
Ａ：「運動量ｐが時間によらず一定なら、ｄｈ/ｄτ＝−γ・ｈ^2だから、すぐに解ける（＊２）。
　　　ｈ0・ｔが１よりずっと大きい場合には、ｈ＝１/ｔが出るね。」
Ｇ：「（ｄｐ/ｄτ）/ｐ＝Ａ（τ）の場合には、この式（＊３）がでるわ。
　　　ｄｈ/ｄτ＝γ・ｄｈ/ｄｔだから、ｄｈ/ｄｔ＝ｈ・（Ａ/γーｈ）
　　　ｈ＞０で、ｈがＡ/γより小さいと、ｄｈ/ｄｔ＞０だから加速膨張ってこと。」
Ａ：「ｈがＡ/γより大きい場合には、ｄｈ/ｄｔ＜０だから減速膨張か。」
Ｇ：「Ａが定数の場合、ｈ（ｔ）は有名なロジスティック関数で（＊４）、人口統計なんかに使われる関数よ。
　　　宇宙の成長カープ。」
Ａ：「ｈ＝Ａ/γのときが臨界か。
　　　このまま宇宙がどんどん膨張していったら、夜中に空を見上げても、星なんか見られなくなってしまう。
　　１年に１度しか逢えない牽牛（アルタイル）と織姫（ベガ）との長距離恋愛も、お互いに切ない気持ちになってしまう。」
Ｇ：「そんなことは心配ご無用。その前に太陽の寿命は尽きてるから。」
Ａ：「まったくもう、すぐに現実へ引き戻そうとする。君はロマンてものが感じとれないのかな。」
Ｇ：「それなら、現実逃避論でも勉強すればいいでしょ。」

（＊１）
　ｄｐ/ｄτ＝ｍ・γ・（（ｄｈ/ｄτ）・ｘ＋ｈ・（ｄｘ/ｄτ））
　　　　　　＝（ｐ/ｈ）・（ｄｈ/ｄτ＋γ・ｈ^2）　　　　　　　ｃｆ）　ｄｘ/ｄτ＝γ・ｄｘ/ｄｔ＝γ・ｈ・ｘ

　∴　（ｄｐ/ｄτ）/ｐ＝（ｄｈ/ｄτ＋γ・ｈ^2）/ｈ

（＊２）
　　−∫（１/ｈ^2）ｄｈ　＝　∫ｄｔ
　　
　　ｈ0＝ｈ（0）として、 ｈ（ｔ）＝ｈ0/（１＋ｈ0・ｔ)

（＊３）
　　ｄｈ/ｄτ＝Ａ・ｈ−γ・ｈ^2＝ｈ・（Ａ−γ・ｈ）

（＊４）
　　ｈ（ｔ）＝（Ａ/γ）/（１＋（（Ａ/γ/ｈ0）−１）・exp(ーＡ・ｔ））