無数

Ａ：「この場所から見上げる夜空の星々はまさに無数だ！」
Ｇ：「天文学的な数ってことね。」
Ａ：「僕のいる星からみて、あの１等星までの距離をｘとして、その星の平均後退速度をＶとすると、
　　　ｔnがハッブル時間（1/Ｈn)の場合、Ｖ＝ｘ/ｔn＝Ｈn・ｘとなる。」
Ｇ：「膨張宇宙論は２１世紀のはじめにやっと確立されたといっていいわね。」
Ａ：「ホントに最近だよ。
　　　経過時間をｔとおいて、関数ｘ（ｔ）とすると、Ｖ（ｔ）＝Ｈn・ｘ（ｔ）だ。」
Ｇ：「Ｖ（ｔn）＝Ｈn・ｘ（ｔn）が、ハッブル則と呼んでる式よ。」
Ａ：「Ｖ（ｔ）を微分して変形してから、ｖ（ｔ）/ｘ（ｔ）をｈ（ｔ）とおけば、こうなる（＊１）。」
Ｇ：「宇宙のスケールファクタ（パラメータ）をａ（ｔ）とおいて、
　　　　ｈ（ｔ）＝（ｄａ（ｔ）/ｄｔ）/ａ（ｔ）とすると、こうね（＊２）。
　　ａ（ｔ）がｔのα乗に比例すると仮定した場合には、
　　ｈ（ｔ）＝α/ｔが得られるわ。Ｖ（ｔ）＝Ｖ（ｔ0）・（ｔ/ｔ0）^α　」
Ａ：「ｔ0の代わりにtnにして、α＝１とするなら、
　　Ｖ（ｔ）/ｔ＝Ｖ（ｔn）/tn は時間に関係なく一定になる。
　　　ｘ（ｔ）＝Ｖ（ｔn）・ｔだから、Ｖ＝Ｈn・ｘが出るワケか。」

（＊１）
　ｄＶ/ｄｔ＝Ｈn・（ｄｘ/ｄｔ）
　　　　　＝Ｈn・ｖ（ｔ）
　　　　　＝（Ｈn・ｘ（ｔ））・ｖ（ｔ）/ｘ（ｔ）
　　　　　＝Ｖ（ｔ）・ｈ（ｔ）

　∴　Ｖ（ｔ）＝Ｖ（t0）・exp[∫ｈｄｔ]　　　∫範囲：t0〜ｔ

（＊２）
　　∫ｈｄｔ＝ln|ａ（ｔ）/ａ（t0）|　　　　 ln（exp(x))=x

∴　Ｖ(t)/Ｖ（t0）＝ａ(t)/ａ(t0)　＞０