定義

Ｃ：「exp()内に虚数単位iがでてこないようにするには、
　　Ｉk＝−iσk
　　と置き換えればいい。
　　Ｉkを２乗すると、−σ0だから、ついでに　σ0＝Ｉ0 と書くことにする（＊１）。」
Ａ：「Ｉ1とＩ2の掛け算は、−σ1σ2＝−iσ3＝Ｉ3になる。」
Ｃ：「Ｉ2・Ｉ3＝Ｉ1と、Ｉ3・Ｉ1＝Ｉ2が判る。要するに順繰りに計算できる。」
Ａ：「Ｉkの定義でマイナスがつくのは、掛け算の結果で符号が変わらないようにするためか。」
Ｃ：「そういうこと。
　　　Ｊk＝−σk＝−i ・Iｋで定義すると、Ｊkの２乗はＩ0になる。」
Ａ：「Ｊ1とＪ2の掛け算は、σ1σ2＝iσ3＝−Ｉ3になる。」
Ｃ：「Ｊ2・Ｊ3＝−Ｉ1と、Ｊ3・Ｊ1＝−Ｉ2となる。」
Ａ：「Ｊどうしの掛け算ではＪが出てこないな。」
Ｃ：「Ｉ0とＩkを含めた掛け算ではＪはでてこない。
　　Ｉk・Ｊk＝−i・（Ik)＾2=i ・I0になる。
Ａ：「Ｉ1・Ｊ2=iσ1σ2＝Ｊ3
　Ｉ2・Ｊ3=iσ2σ3＝Ｊ1
　Ｉ3・Ｊ1=iσ3σ1＝Ｊ2 だ。」
Ｃ：「計算にも慣れてきたところで、この前の変換式を少し書き換えると、こうなる（＊２）。」
Ａ：「確かにexp（−２θI1）の形になってる。」

（＊１）
　Ｘμ・σμ＝Ｘ0・I0＋i （Ｘk・Ｉk）
Ｘμ・μσ＝Ｘ0・I0−i （Ｘk・Ｉk）
（＊２）
Ｘ2Ｉ2（Ｓ*）^2＝Ｘ2(Ｉ0cos2θ−Ｉ1sin2θ）Ｉ2
Ｘ3Ｉ3（Ｓ*）^2＝Ｘ3(Ｉ0cos2θ−Ｉ1sin2θ）I3