変換則

Ａ：（今日は少し時間があるから、図書館にでも行ってみるか。）
（１５分経過）
Ｃ：「君も、ここの利用者？」
Ａ：「ときどき。」
Ｃ：「何を勉強してるのかな？」
Ａ：「相変わらず、Ｘμ・σμだよ。」
Ｃ：「君は回転の演算子を知ってる？」
Ａ：「exp（iσjθ)でしょ。ｊ=1,2,3。」
Ｃ：「じゃ、演算子の変換則は？」
Ａ：「変換則って？」
Ｃ：「演算子Ａを変換子（演算子）Ｓで変えると、Ａ’=(S)A(S*)になるってこと。」
Ａ：「Ａ｜ｘ＞＝ａ｜ｘ＞から計算すればいいんじゃないの（＊１）。」
Ｃ：「Ｓ*は、Ｓの複素共役。Ｓ（Ｓ*）＝（Ｓ*）Ｓ＝Ｉで、Ｉは恒等変換だ。」
Ａ：「Ｓ＝exp（iσjθ)の場合には、Ｓ*＝exp（-iσjθ)だから、Ｓ（Ｓ*）＝（Ｓ*）Ｓ＝σ0になる。」
Ｃ：「Ａ＝Ｘμσμとして、回転しても時間は変らないから、
　　Ｘ0=０とおいて、ＸjσjをＳ＝exp（iσ1θ)で変換すれば、Ｘ1軸回りに回転させたときのＡ’が計算できる（＊２）。」
Ａ：「ＸjはＳと交換するの？」
Ｃ：「そう。Ｘ1σ1は回転しても変わらないけど、
　　　Ｘ2σ2とＸ3σ3は、θの２倍分変わってしまうんだ（＊３）。」
　　大きさが１の単位方向ベクトルの各成分をｎk（k=1,2,3)とすると、この方向の軸回りにθだけ回転させるには、exp(iθ・ｎk・σk) を使えばいい。」
Ａ：「僕の頭も２倍回転するといいんだけどね。」

（＊１）
　ＳＡ（Ｓ*)S｜ｘ＞＝ａS｜ｘ＞
Ａ’=(S)A(S*)　　
｜ｘ’＞＝S｜ｘ＞とおくと、
　Ａ’｜ｘ’＞＝ａ｜ｘ’＞

（＊２）
　Ａ’＝Ｓ（Ｘjσj）（Ｓ*)
　＝Ｘj（Ｓσj（Ｓ*））

　Ｓσ1(S*）＝σ1
　Ｓσ2(S*）＝σ2（Ｓ*）^2
　Ｓσ3(S*）＝σ3（Ｓ*）^2

（＊３）
Ｘ2σ2（Ｓ*）^2＝Ｘ2σ2（σ0cos2θ−iσ1sin2θ）＝Ｘ2(σ2cos2θ−σ3sin2θ）
Ｘ3σ3（Ｓ*）^2＝Ｘ3σ3（σ0cos2θ−iσ1sin2θ）＝Ｘ3(σ3cos2θ＋σ2sin2θ）