角速度

Ａ：「気になってたんだけど、６元角運動量の「６元」って何のこと？」
Ｇ：「そうか、君はまだ１元数しか知らないんだ。」
Ａ：「１元数？」
Ｇ：「Ｘ1Ｉ1＋Ｘ1Ｉ2は２元数よ。Ｉ1＝１とＩ2=iとして複素数Ｚ＝Ｘ1＋iＸ2を使って、角速度の計算でもやってみる？」
Ａ：「複素数は知ってるけど、角速度って何？」
Ｇ：「回転の速度のこと。
　　　Ｘ1はＩ1軸上での位置座標の演算子で、
　　　Ｘ2はＩ2軸上での位置座標の演算子。」
Ａ：「Ｉ1軸とＩ2軸はどういう関係？」
Ｇ：「直交関係。
　　　Ｚの時間微分（ｄＺ/ｄｔ）を｜Ｚ｜で割ったのが角速度Ωよ。」
Ａ：「｜Ｚ｜は？」
Ｇ：「｜Ｚ｜＝√（Ｘ1^2＋Ｘ2^2）、つまり、Ｚの大きさ。
とりあえず、｜Ｚ｜＝Ｒは一定にして、Ｚ＝Ｒexp（iθ）と書いて、Ωを求めるとこうなるわね（＊１）。」
Ａ：「(Ｘ１，Ｘ2)、(Ω1，Ω2)と書いても同じような気がする。」
Ｇ：「ベクトル的にはそうよ。
　　　Ωの共役Ω~（＝Ω1−iΩ2）とＺを掛け算するとこうなるわ（＊２）。」
Ａ：「Ｉ1軸の座標はゼロ。」
Ｇ：「(Ｘ１，Ｘ2）と（Ω1，Ω2）とのスカラ積（＊３）を計算したのと同じでゼロになって直交してる。
　Ｒe(Ω~・Ｚ）＝０で、　Ｒe（Ω）はΩ１のこと。
　　　Ｉ1軸とＩ2軸に直交する軸をＩ3軸とすると、角速度Ω（Ω1,Ω2,０）は、Ｉ3軸回りに回転する速度を表すのよ。
　　Ｉ1軸とＩ2軸を含む複素平面は、ガウス平面とも呼ばれてる。」
Ａ：「ガウスって、エレキバンを発明した社長の先祖？」
Ｇ：「まさか。有名な数学者よ。」
Ａ：「ガウスとは知り合い？」
Ｇ：「モチロン。」

（＊１）
　Ω＝Ω1＋iΩ2
＝（-sinθ+icosθ)（ｄθ/ｄｔ）
　　 ＝i（isinθ+cosθ)（ｄθ/ｄｔ）
　　 ＝|Ω|exp（i（θ＋π/2））
　　 ＝(｜Ω｜/Ｒ）（Ｚexp（i（π/2））

　Ω1＝−（Ｘ2／Ｒ）｜Ω｜
　Ω2＝＋（Ｘ１／Ｒ）｜Ω｜

（＊２）
Ω~・Ｚ＝（｜Ω｜/Ｒ）Ｒ^2exp（-i（π/2））＝−i｜Ω｜Ｒ

（＊３）
　(Ｘ１，Ｘ2）・（Ω1，Ω2）＝（−Ｘ１・Ｘ2＋Ｘ2・Ｘ1)｜Ω｜/Ｒ