匂い

A:「今日は誰にも邪魔されないで済む。
   この前の続きを計算しよう。
   X0|u>+X1|d>と、σ1|u>=|d>を使うと、
  (X0 I +X1σ1)|u>と書けるから、これをXσ=X0σ0 +X1σ1とする。σ0=Iだけど、この方がかっこ良く見える。
   変換の方は、S(Θ)=exp(-σ1Θ)と、S~(Θ)=exp(σ1Θ)とおいて、
   例によって、Θ=θ1+iθ2だ。
 Xσを変換するとX’σ’=X’0σ’0 +X’1σ’1になるはずだから、
 σμ=(σ0,σj ) j=1〜3の変換式を計算する必要がある。
  とりあえず、<x’|σ’μ|x’>を計算してみると、こうなる(*1)。η=2・θ1とおく。
  X’σ’=X’0σ’0 +X’1σ’1
      =(X’0σ0 +X’1σ1)exp(σ1η)
      
  exp(σ1η)=(coshη)σ0+(sinhη)σ1だから、真面目に計算するとこうなる(*2)。 
  ローレンツ(逆)変換が出てきた。
  この辺でお開きにして家に帰ろうっと。」
 
(時間経過)
A:「ただいま!」
S:「お帰り。
   最近、色気づいてるみたいだけど。」
A:「青春時代なんだから、デートもするさ。」
S:「今日は香水の匂いがしないわね。」
 
(*1)
 <x’|σ’μ|x’>=<x|exp(-σ1θ1)σ’μ exp(-σ1θ1)|x>≡<x|σμ |x>

μ=0,1  σ’μ=σμ exp(σ1η)       η=2・θ1
μ=2,3  σ’μ=σμ             ∵ {σ1,σ2}=0 {σ1,σ3}=0 

(*2)
 X’σ’=(X’0σ0 +X’1σ1)((coshη)σ0+(sinhη)σ1) ≡ Xσ

   X’0 coshη+X’1 sinhη=X0
   X’1 coshη+X’0 sinhη=X1

<Ψ’|X’σ’|Ψ’>
=<Ψ|S(iσ1θ2) X’σ’ S(-iσ1θ2)|Ψ>
= <Ψ|Xσ|Ψ>

=x’0 coshη+x’1 sinhη =x0
=x’1 coshη+x’0 sinhη =x1