飛躍

Ａ：「行列からいきなりブラとケットじゃ、飛躍しすぎじゃないの？」
Ｇ：「行列がお好きなら、
　　exp（iσ1θ）＝（cosθ）Ｉ＋（sinθ）iσ1
　　を使えばいいわ。」
Ａ：「え！　expの（）内が行列？」
Ｇ：「 exp(λ(θ））とおいて、１回微分して、１回積分する方法はどう？（＊１）」
Ａ：「いや、地道にマクローリン展開するさ。」
Ｇ：「exp（iσ1θ）の定義を使って、こうやってもいいわね（＊２）。
　　二項定理を知ってるでしょ。NＣn＝Ｎ!／ｎ!／（Ｎ−ｎ）!は、N→∞で１／ｎ!だから。」
Ａ：「ｎが２ｍのとき、（σ1）^２ｍ＝Ｉで、
　　　　　２ｍ＋１のとき、、（σ1）^(２ｍ+1)＝σ1になるからか。」
Ｇ：「ケットは列ベクトルで、｜Ψ’＞＝exp（iσ1θ）｜Ψ＞
　　　同様にブラの方は、＜Ψ’｜＝＜Ψ｜exp（−iσ1θ）となる。」
Ａ：「ということは、ローレンツ変換はexp（σ1θ）ってこと？」
Ｇ：「こういうことね（＊３）。
　　２つをまとめると、exp（σ1（θ1＋iθ2))で、
　　Θ＝θ1＋iθ2とすれば、簡単にexp（σ1Θ）と書ける。
　　因みに、私たちの時代には、量子力学を中学校で習うの。」
Ａ：「！　ってことは、ローレンツ変換は小学生でも知ってるのか。」
Ｇ：「人類の未来は頼もしいいってことよ。」

（＊１）
exp(λ(θ））＝(cosθ)Ｉ＋(isinθ)σ1
　（ｄ λ(θ）／ｄθ）・exp(λ(θ））＝（−sinθ）Ｉ＋（icosθ）σ1
＝iσ1((cosθ)I＋(isinθ)σ1)
　ｄ λ(θ）／ｄθ = iσ1　
∴　λ（θ）＝iσ1θ＋Ｃ　（Ｃ＝０　∵λ（０）＝０　　０：ゼロ行列）

（＊２）
　exp（iσ1θ）＝lim (1+iσ1θ/N)^N ( N→∞）
　　　　　　　 ＝lim　ΣNＣn (iσ1θ)^n
＝Σ(iσ1θ)^n/ n!
　　　　　　　 ＝Σ[(iσ1θ)^2m/(2m)!＋(iσ1θ)^(2m+1)/(2m+1)!]
（＊３）
exp（σ1θ） ＝Σ(σ1θ)^n/ n!
　　　　　　　 ＝Σ[ Ｉ(θ)^2m/(2m)!＋σ1(θ)^(2m+1)/(2m+1)!]