オイラー

Ａ：「ちょっといつもの式ではないみたい。指数関数expにiθがあるとは。」
Ｃ：「exp(iθ）＝cosθ＋isinθだよ。オイラーの公式と呼んでる。」
Ａ：「え！　どうして？」
Ｃ：「exp（ｘ）のマクローリン展開でｘ＝iθとおいて実数部と虚数部に整理すれば判る（＊１）。」
Ａ：「もっと楽な方法はないの？」
Ｃ：「じゃ、 exp(λ(θ））とおいて、１回微分して、１回積分する方法はどう？（＊２）」
Ａ：「なんだか胡散臭い感じ。」
Ｃ：「君は双曲線関数cosh,sinhを知ってるかな？」
Ａ：「よくお世話になってる関数だよ。」
Ｃ：「じゃ、こうするんだ（＊３）。それぞれの二乗を計算してたすと、
　　　Ｐ^2＋Ｑ^2＝１が出る。」
Ａ：「ピンと来た。Ｐ＝cosθで、Ｑ＝sinθとすればいい。」
Ｃ：「細かいことは抜きにして、前回やった式にこれ（＊４）を使えば、回転行列Ｒ（θ）が得られる。」
Ａ：「なるほど。ローレンツ変換に似てるけど違うみたい。」

（＊１）
　exp（iθ）＝Σ（iθ）^n／n！
　　　　　　　＝Σ｛（iθ）^(2・m) ／（2・m)！＋(iθ)^(2・m+1) ／（2・m+1)！｝
　　　　　　　＝Σ｛（−１）^m・θ^(2・m) ／（2・m)！＋i（−１）^m・θ^(2・m+1) ／（2・m+1)！｝

n=2・m, or 2・m+1

（＊２）
exp(λ(θ））＝cosθ＋isinθ
　（ｄ λ(θ）／ｄθ）・exp(λ(θ））＝−sinθ＋icosθ＝i(cosθ＋isinθ)
　ｄ λ(θ）／ｄθ = i　
∴　λ（θ）＝iθ＋Ｃ　（Ｃ＝０　∵λ（０）＝０）

（＊３）
　Ｐ＝cosh（iθ） ＝ （exp（iθ）＋exp（−iθ））／２
　Ｑ＝-isinh (iθ) ＝-i（exp（iθ）−exp（−iθ））／２
　
（＊４）
　Ｐ±iＱ＝exp（±iθ）　　

　ｘ'1＝cosθ・ｘ1−sinθ・ｘ2
　ｘ'2＝sinθ・ｘ1＋cosθ・ｘ2

　Ｒ（θ）＝（（cosθ，−sinθ），
　　　　　　　　（sinθ，　cosθ））