実用

Ａ：「Ｗ＝ｃ・ｔ＝ｘ0とおくと、
　　S＾2＝ｘ0＾2−（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝０となる。」
Ｃ：「光線の式だから、君にはお馴染みの形さ。
　　僕の座標系では、ダッシュを付けるだけ。
　　ｘ'1＝ｘ, ｘ'2＝y',　ｘ'3＝ｚ'とおくと
　　S’＾2＝ｘ0’＾2−（ｘ'1^2＋ｘ'2^2＋ｘ'3^2）
　　ここで、ｘ'0＝ｘ0, ｘ'3＝ｘ3とおくと、S'＾2＝S＾2から、
　　　ｘ'1^2＋ｘ'2^2＝ｘ1^2＋ｘ2^2となる。
　　S'＾2＝S＾2を満たす変換はローレンツ変換だけじゃないんだ。」
Ａ：「なに変換？」
Ｃ：「直交変換といって、回転行列で表すことができる。
　これはローレンツ変換なんかよりもズッと実用的だ。
　 ｘ1^2＋ｘ2^2の因数分解はこうなる（＊１）。」
Ａ：「iは、√（−１）だね。」
Ｃ：「こうおくと（＊２）、Ｘ'・Ｔ'＝Ｘ・Ｔになって」
Ａ：「待った。その後は、Ｘ'＝exp（θ）・Ｘ,　Ｔ'＝exp（−θ)・Ｔとおいて計算するんでしょう？」
Ｃ：「少し違うんだ。こうおくんだ（＊３）。すると、この式が出る（＊４）。」

（＊１）
　ｘ1^2＋ｘ2^2＝（ｘ1＋iｘ2）・（ｘ1−iｘ2）

（＊２）
　Ｘ＝ｘ1＋iｘ2　　Ｘ'＝ｘ'1＋iｘ'2
Ｔ＝ｘ1−iｘ2　　Ｔ'＝ｘ'1−iｘ'2　　

（＊３）
Ｘ'＝exp（　iθ）・Ｘ
Ｔ'＝exp（−iθ）・Ｔ

（＊４）
　ｘ'1＝（（exp（iθ）＋exp（−iθ））／２）・ｘ1＋（（exp（iθ）−exp（−iθ））／２）・（iｘ2）
　ｘ'2＝（（exp（iθ）−exp（−iθ））／２i）・ｘ1＋（（exp（iθ）＋exp（−iθ））／２）・(iｘ2）