反交換関係

Ａ：「ρ1は座標同士を交換する作用があって、
　　 ρ3は座標の一方の符号を反転させる作用がある。
　　 ρ2はこの２つの掛け合わせだから、両方の作用をもつ。
　　　ローレンツ変換では座標を混ぜる必要があるから、ρ1かρ2が要るんだ。」
Ｇ：「ρ2は角運動量に関係あるのよ。」
Ａ：「角運動量？」
Ｇ：「回転の運動量のこと。そのうち出てくるから。
　　前回やったように、ρjには関係（＊１）があって、これを反交換関係の記号｛｝で書くと、
　　　{ ρj , ρk }＝０ （j≠k)　となるわ。」
Ａ：「パウリ行列でも同じで、
{ σj , σk }＝０ だね。例えば、
　　　　　{ ρ1, ρ2 }＝{ σ1, -iσ2 }＝−i｛σ1, σ2 ｝＝０ となる。　」
Ｇ：「σj の２乗は単位行列Ｉだから、結局こう書けるわ（＊２）。
　　　δjkはクロネッカーのデルタ記号で、ｊ=ｋのとき１、j≠kのときゼロ。」
Ａ：「なるほど。カッコいい形に書けるものだ。」
Ｇ：「クロネッカーのこと、訊かないの？」
Ａ：「自分で調べるさ。どうせ君の答えは、僕の知らない人ってことだから。」
Ｇ：「大分、分かって来たようね。
　　　［］±の記号を使って、こう書くこともあるの（＊３）。」

（＊１）
　ρ1ρ2＋ρ2ρ1＝０
　ρ2ρ3＋ρ3ρ2＝０
　ρ3ρ1＋ρ1ρ3＝０

（＊２）
　｛σj , σk ｝＝２Ｉδjk

（＊３）
　［σj , σk ］+ ＝σjσk＋σkσj ＝２Ｉδjk
　［σj , σk ］- ＝σjσk−σkσj＝（２i）εjkl σl

　 εjkl　（完全反対称テンソル）
　　　　　ε123＝＋１を基準として添え字の偶数回の置換のときには＋１、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 奇数回の置換のときには−１、それ以外はゼロ。