パウリ

Ａ：「今回は光速一定の原理について計算すると、
　　　僕の座標で、　ｘ0^2−ｘ1＾2はこうなる（＊１）。」
Ｇ：「私の座標では、ρ3を使って、こうなるわ（＊２）。」
Ａ：「ρ3？　ρ2じゃないの？」
Ｇ：「ρ2はρ1とρ3を掛けて出せはいいのよ（＊３）。
　　　ρ1＝ρ2ρ3
　　　ρ2＝ρ1ρ3
　　　ρ3＝ρ1ρ2
　　　という関係があるの。
　　　ρ1^2＝ρ3＾2＝Ｉで、ρ2^2＝−Ｉよ。」
Ａ：「そうすると、ローレンツ変換式はこう書ける（＊４）。ρ3ρ1＝−ρ1ρ3だから。」
Ｇ：「私の座標で（Ｘ'）~tρ3（Ｘ’）を計算すると、こうなるわ（＊５）。ρ3ρ2＋ρ2ρ3＝０を使って。」
Ａ：「光速一定の原理は、
　　（Ｘ'）~t ρ3 （Ｘ’）　＝　Ｘ~t ρ3 Ｘ　ということか。」
Ｇ：「ρ1＝σ1,ρ2＝−i（σ2),ρ3＝σ3とおくと、σjはパウリ行列と呼んでいるものよ。
　　　ρ2^2＝−Ｉだけ違うのはカッコ悪いから、σ2＾2＝Ｉにしたのね。」
Ａ：「パウリって誰？」
Ｇ：「もちろん、君の知らない人よ。」

（＊１）
　ｘ0^2−ｘ1＾2
　＝（ｘ0, ｘ1）（ｘ0,− ｘ1）^ｔ

（＊２）
　　（Ｘ'）~tρ3（Ｘ’）　　

ρ3＝［(1,0)
(0,-1)]

(＊３）
ρ2＝ρ1ρ3
＝［(0,-1)
(1,0)]

（＊４）
ρ2X’＝( （coshθ)ρ2−（sinhθ）ρ2ρ1 ）X
ρ1ρ2X’＝( （coshθ)ρ1ρ2＋（sinhθ）ρ1ρ3 ）X
　　ρ3X’＝( （coshθ)ρ3＋（sinhθ）ρ2 ）X

（＊５）
　　
　（Ｘ'）~t ρ3 （Ｘ’）　
＝（ρ3Ｘ'）~tρ3（ρ3Ｘ’）　
＝(（ （coshθ)ρ3＋（sinhθ）ρ2）Ｘ ）~t ρ3(（ （coshθ)ρ3＋（sinhθ）ρ2）Ｘ
＝Ｘ^t（ （coshθ)ρ3−（sinhθ）ρ2）ρ3（ （coshθ)ρ3＋（sinhθ）ρ2）Ｘ
＝Ｘ^t ρ3（ （coshθ)ρ3＋（sinhθ）ρ2）^2 Ｘ
＝Ｘ^t ρ3（ （coshθ)＾2(ρ3)^2＋（sinhθ）^2(ρ2)^2）Ｘ
＝Ｘ~t ρ3 Ｘ