振り出し

Ａ：「ところで、ｈ＝２πとしたシュレーディンガー方程式、i∂tψ＝Ｈψに、
　　Ｈ＝√（（Ｐｃ）^2＋（ｍ・ｃ^2）^2）を入れて解くことができるの？」
Ｂ：「そのままでは、√があるから、ちょっと厄介だ。それでi∂tをもう一回使うと、こうなる（＊１）。
　　　Ｐを、−i∇とするんだ。∇は（∂x,∂y,∂z）のこと。」
Ａ：「□は何？」
Ｂ：「これは、∇^2−（１／ｃ^2）∂ttのこと。
　　　（□−（ｍ・ｃ）^2）ψ＝０は、クライン−ゴルドン方程式と呼ばれてるけど、最初に出したのはシュレーディンガーなんだよ。」
Ａ：「もう少し簡単にならないの？」
Ｂ：「Ｐψ＝０の場合には∇は出てこないから、
　　　−∂ttψ＝（ｍ・ｃ^2)＾2・ψが出る。
　　　ψ＝exp（iωt）とおけば、ωが求まるよ。」
Ａ：「ω^2＝（ｍ・ｃ^2)＾2だから、ω＝±ｍ・ｃ^2となる。」
Ｂ：「次に、ψ＝φ・exp（±ｍ・ｃ^2・ｔ）とおいて、i∂tψ＝Ｈψに代入すると、こうなる（＊２）。
　　　φは位置ｘｊとｃ・ｔの関数だ。」
Ａ：「位相ｋμ・ｘμ−ω・ｔで、ｋμ＝０とω＝ｍ・ｃ^2を使うと、exp（）の括弧内は、−i（ｍ・ｃ^2）ｔだから、マイナスの項が出るよね。」
Ｂ：「Ｈ−ｍ・ｃ^2の計算は以前にやったように近似すると、
　　　運動エネルギーの項、Ｐ^2／（２ｍ）だから、Ｐを−i∇をおけば、君の知ってる式、
　　　i∂tφ＝（−∇^2／（２ｍ））φ＝−（１／２ｍ）・（∂xx＋∂yy＋∂zz）φ
　　　が出る。」
Ａ：「i∂tφ＝（Ｈ＋ｍ・ｃ^2）φと、i∂tφ＝（Ｈ−ｍ・ｃ^2）φの両方を使えば、こうなる（＊３）。」
Ｂ：「Ｐを−i∇に換えれば、
　　　□φ＝０、つまり、（∇^2−（１／ｃ^2）∂tt）φ＝０となる。
　　　最初にやった波動方程式が出てきて、また振り出しに戻ったって訳だ。」

（＊１）
　i∂t（i∂tψ）＝Ｈ^2ψ
−∂ttψ＝（（Ｐｃ）^2＋（ｍ・ｃ^2）^2）ψ
−（１／ｃ^2）∂ttψ＝（−∇^2＋（ｍ・ｃ）^2）ψ
　□ψ＝（ｍ・ｃ）^2・ψ

（＊２）
　i∂tφ＝（Ｈ±ｍ・ｃ^2）φ

（＊３）
　（i∂t）^2φ ＝（Ｈ＋ｍ・ｃ^2）・（Ｈ−ｍ・ｃ^2）φ
　　　　　　　 ＝（Ｈ^2−（ｍ・ｃ^2）^2）φ
　　　　　　　 ＝（Ｐｃ）^2・φ