時間

Ａ：「お次は時間演算子Ｔといってみよう。」
Ｂ：「大分調子が上がってるみたいね。僕の出番はないみたいね。」
Ａ：「君はオチを考えてればいい。」
Ｂ：「計算する方が楽だよ。」
Ａ：「まぁ、そう言わずに。
　　　Ｔ＝ＷＴ0Ｗ^から出発して、見やすい形にしてみよう。
　　　exp(iＨ0ｔ)とＴ0の交換関係は、こうなる（＊１）。」
Ｂ：「また前回と同じような台詞だけど、大丈夫？」
Ａ：「ここでは、［Ｈ0,Ｔ0］＝iを使ってる。」
Ｂ：「それは、僕の台詞なんだけど。」
Ａ：「Ｔ＝（Ｔ0−ｔ）exp（iＨ0ｔ)・exp（−iＨ0ｔ)
　　　　＝　Ｔ0Ｉ−ｔＩ
　　となる。Ｉ＝exp（iＨ0ｔ)・exp（−iＨ0ｔ)＝exp（０）で、Ｈ0Ｉ＝Ｈ0（＊２）　　　だから、
　　　　Ｔ＝Ｔ0−ｔＩ　が出てくる。」
Ｂ：「ＴはＴ0をｔだけ過去にずらす演算子ってことだね。」
Ａ：「ここからは前回の繰り返しはもう止めて、Ｔ＝Ｔ0＋ｔＩを出そうと思う。」
Ｂ：「ｔの符号を反転させて、−ｔにするってことだね。」
Ａ：「時間反転操作をＲ（Ｔ）と書くことにすると、
　　　　Ｒ（ＷＴ0Ｗ^）＝exp（−iＨ0ｔ)・Ｔ0・exp（iＨ0ｔ)
　　　　ｔ0を時間の原点としてＲ（Ｔ0）＝Ｔ0の場合、こうなる（＊３）。」
Ｂ：「予定通り、Ｔ＝Ｔ0＋ｔＩがでるね。
　　　Ｒ（［Ｔ,Ｈ］）はどうなるかな？」
Ａ：「こうかな（＊４）。」
Ｂ：「iｄＴ／ｄｔ＝i∂tＴ＋［Ｔ,Ｈ］で、ｔを−ｔに変えて、Ｔを−Ｔに変えると、
　　　iｄＴ／ｄｔ＝i∂tＴ−［Ｔ,Ｒ（Ｈ）］になるから、Ｒ（Ｈ）＝−Ｈでないといけない。」
Ａ：「時間の向きを逆にすると、Ｈの符号も変るのか。
　　　時間を未来に進めるには、Ｔ＝exp（−iＨ0ｔ)・Ｔ0・exp（iＨ0ｔ)とする必要がある。」
Ｂ：「ハイゼンベルクの運動方程式でＡ＝Ｈとおいて∂tＨ＝０の場合、
　　　iｄＨ／ｄｔ＝［Ｈ,Ｈ］＝０となるから、Ｈ＝Ｈ0で時間が経っても変らない。
　　　Ｔはｔだけの関数だから、
　　　iｄＴ／ｄｔ＝i∂Ｔ／∂ｔ＝±［Ｔ,Ｈ］＝±［Ｔ,Ｈ0］＝±iＩとなる（＊５）。」
Ａ：「Ｈの符号を変えるってことは、借りてたエネルギーを返せば過去に戻れるのかな？」
Ｂ：「借金と同じで返済して前の状態に戻っても、そうなるまでには時間がかかる。
　　　でも、君のその腕時計を反対方向に進めるのと同じようなことをするには、もっと簡単な方法があるよ。」
Ａ：「そんな方法あるの？」
Ｂ：「君のもってる想像力という翼を使えば、どんな過去にでも飛んでいけるさ。」

（＊１）
　［exp（iＨ0ｔ）,Ｔ0］＝iｔexp（iＨ0ｔ）［Ｈ0,Ｔ0］

　exp（iＨ0ｔ）Ｔ0＝Ｔ0exp（iＨ0ｔ）−ｔexp（iＨ0ｔ）

（＊２）
　　Ｔ0 ＝exp（０）Ｔ0exp（０）
　　　　＝Ｔ0exp（０）・exp（０）
　　　　＝Ｔ0Ｉ

（＊３）
　　exp（−iＨ0ｔ）Ｔ0 exp（iＨ0ｔ）
　＝Ｔ0exp（−iＨ0ｔ）exp（iＨ0ｔ）＋ｔexp（−iＨ0ｔ）・exp（iＨ0ｔ）

（＊４）
　［−Ｔ,Ｈ］＝［−Ｗ^Ｔ0Ｗ,Ｗ^Ｈ0Ｗ］
　　　　　　 ＝−Ｗ^［Ｔ0,Ｈ0］Ｗ
　　　　　　 ＝iＩ

（＊５）
i∂Ｔ／∂ｔ＝i∂（±ｔＩ＋Ｔ0）＝±iＩ

∂t（exp（−iＨ0ｔ)・Ｔ0・exp（iＨ0ｔ)）
　＝∂t(exp（−iＨ0ｔ))・(Ｔ0・exp（iＨ0ｔ))＋exp（−iＨ0ｔ)・∂tＴ0・exp（iＨ0ｔ)　＋　(exp（−iＨ0ｔ))・Ｔ0・∂t（exp（iＨ0ｔ))
　＝−iexp（−iＨ0ｔ)・Ｈ0Ｔ0・exp（iＨ0ｔ)＋iexp（−iＨ0ｔ)Ｔ0Ｈ0exp（iＨ0ｔ)
　＝−iexp（−iＨ0ｔ)［Ｈ0,Ｔ0］exp（iＨ0ｔ)
　＝−i［exp（−iＨ0ｔ)・Ｈ0・exp（iＨ0ｔ),exp（−iＨ0ｔ)・Ｔ0・exp（iＨ0ｔ)］
　＝−i［Ｈ,Ｔ］

∂t（exp（iＨ0ｔ)・Ｔ0・exp（−iＨ0ｔ)）
　＝i［Ｈ,Ｔ］