変換

Ａ：「試行錯誤の末に分かったのは、ハイゼンベルクの波動関数φに、exp（−i・Ｈ0・ｔ）をかけるとシュレーディンガーの波動関数Ψが出てくるってことなんだ。」
Ｂ：「変換に使った演算子はどうやって思い付いたの？」
Ａ：「演算子Ｅ＝Ｈ（ｔ0）をexp(−iωｔ)のωに使えば、時間経過につれて位相が変化するからさ。変換演算子をＷとして、時間演算子をＴとする。
　　Ｔ＝ＷＴ0Ｗ^とＨ＝ＷＨ0Ｗ^とおいて［Ｔ,Ｈ］と計算してみるとこうなる（＊１）。　Ｗ^はＷの逆変換の演算子でＷＷ^＝Ｉだよ。Ｉは１を掛ける演算子。」
Ｂ：「　Ｔ0＝Ｔ（t0）、Ｈ0＝Ｈ（t0）だから、
　　　［Ｔ0,Ｈ0］＝−iから、［Ｔ,Ｈ］＝−iが出る。
　　　時刻ｔが変っても交換関係は同じ。」
Ａ：「演算子ＡをＸとＰの関数として、∂tＡ＝０とした場合、ハイゼンベルクの運動方程式にＡ＝ＷＡ0Ｗ~とＨ＝ＷＨ0Ｗ^を代入するとこうなる（＊２）。」
Ｂ：「この２つの式が出てくる（＊３）。
　　　Ｗ ＝exp(＋iＨ0ｔ)とおけば、最初の式を満たし、
　　　Ｗ^＝exp(−iＨ0ｔ)とおけば、２番目の式を満たすことが分かる。」
Ａ：「結局、Ψ~＝（φ~）Ｗと、Ψ＝（Ｗ^）φの関係があれば、こういうことになるんだ（＊４）。
　　２つの式のうち、i・ｄΨ／ｄｔ＝Ｈ0Ψで、Ψをｘμの関数Ψ（ｘμ）としたものが　　i∂tΨ＝Ｈ0Ψ、つまりシュレーディンガー方程式なんだ。」
Ｂ：「Ψ~＝（φ~）Ｗの変換と、Ψ＝（Ｗ^）φの変換は表裏の関係にある。シュレーディンガー方程式は一対あるってことだね。」
Ａ：「この２つの式から計算してみると（＊５）、ΨΨ~がＨ0と交換するなら、ΨΨ~が時間によらずに一定になることが分る。
　　　君が言ったように、ＥΨ＝Ｈ0Ψが最初から出せるんなら、こんな遠回りの計算は必要なかった訳だよ。」
Ｂ：「いゃ、同じじゃないさ。君は方程式が一対だってことを突き止めた訳だから。」

（＊１）
　［Ｔ,Ｈ］＝［ＷＴ0Ｗ^,ＷＨ0Ｗ^］
　　　　　 ＝ Ｗ［Ｔ0,Ｈ0］Ｗ^
（＊２）
　i・ｄＡ／ｄｔ＝［Ａ,Ｈ］

　 i・ｄＡ／ｄｔ＝i・（（ｄＷ／ｄｔ）・Ａ0Ｗ^＋ＷＡ0・（ｄＷ^／ｄｔ）

　［Ａ,Ｈ］＝（ＷＡ0）Ｈ0Ｗ^−(ＷＨ0)Ａ0Ｗ^

（＊３）
　i・ｄＷ／ｄｔ　＝−ＷＨ0
i・ｄＷ^／ｄｔ ＝ Ｈ0Ｗ^

（＊４）
　φ~（i・ｄＷ／ｄｔ）　＝−φ~ＷＨ0
　i・ｄ（φ~Ｗ）／ｄｔ　＝−（φ~Ｗ）Ｈ0
　i・ｄΨ~／ｄｔ　＝　−Ψ~Ｈ0

　（i・ｄＷ／ｄｔ）φ　＝　Ｈ0Ｗφ
　i・ｄ（Ｗφ）／ｄｔ　＝　Ｈ0（Ｗφ）
　i・ｄΨ／ｄｔ　＝　Ｈ0Ψ

（＊５）
　i・(Ψ・ｄΨ~／ｄｔ＋（ｄΨ／ｄｔ）Ψ~）
　＝−（ΨΨ~）Ｈ0＋Ｈ0(ΨΨ~)