不変

Ａ：「ところで、i・ｄＡ（ｔ）／ｄｔ＝［Ａ（ｔ）,Ｈ（ｔ）］で、ｔを固有時間τにすれば、ローレンツ変換で変らない式になるってことかな？」
Ｂ：「試しに、Ａ＝Ｘとして（＊１）、これが不変式かどうかを確かめてみよう。」
Ａ：「相対速度をＶとするとβ＝Ｖ／ｃでγ＝√（１−β^2）として、固有時間τの変化はｄτ＝ｄｔ／γとなる。」
Ｂ：「僕の座標ではｄτ’＝ｄｔ'とするから、
　　　i・ｄＸ'／ｄｔ'＝［Ｘ',Ｈ'］が成り立つはずだ。」
Ａ：「ローレンツ変換はこうだから（＊２）、
　　　［Ｘ',Ｈ'］＝γ^2［Ｘ−Ｖ・ｔ,Ｈ−Ｖ・Ｐ］
＝γ^2｛［Ｘ,Ｈ］−Ｖ［ｔ,Ｈ］−Ｖ［Ｘ,Ｐ］＋Ｖ^2［ｔ,Ｐ］｝
＝γ^2［Ｘ,Ｈ］
　　　　が出てくる。」
Ｂ：「i・ｄＸ'／ｄｔ'の方を計算すると、
　　　i・γ^2・（ｄＸ／ｄｔ−Ｖ）となる。」
Ａ：「ということは、
　　　i・（ｄＸ／ｄｔ−Ｖ）＝［Ｘ,Ｈ］だから、−Ｖが余分に出てきて形が崩れる。」
Ｂ：「−Ｖを消すには、i・∂Ｘ'／∂τの項がいるね。」
Ａ：「i・γ・∂Ｘ'／∂ｔ
　　　＝i・γ^2・∂（Ｘ−Ｖ・ｔ）／∂ｔ
　　　＝i・γ^2・（∂Ｘ／∂ｔ−Ｖ）
　これをi・ｄＸ'／ｄｔ'の式から差っぴくと、
　　　i・γ^2・（ｄＸ／ｄｔ−Ｖ）−i・γ^2・（∂Ｘ／∂ｔ−Ｖ）
　　＝i・γ^2・（ｄＸ／ｄｔ−∂Ｘ／∂ｔ）＝γ^2［Ｘ,Ｈ］
　　そうすると、i・（ｄＸ／ｄｔ−∂Ｘ／∂ｔ）＝［Ｘ,Ｈ］となる。」
Ｂ：「ここで演算子Ａ（ｔ）を４元ベクトルとする。成分Ａ1とＡ0がローレンツ変換式でＡ'1とＡ'0に変るとして同じようにやってみると、こうなるよ（＊３）。」
Ａ：「Ａ1とＡ0はＰと交換するから、これが出るのか（＊４）。」
Ｂ：「関数Ａ（ｘ,ｔ）の時間微分はこの公式（＊５）だから、
　　（∂Ａ／∂ｘ）・（ｄｘ／ｄｔ）にiをかけたものが、［Ａ,Ｈ］に相当する。」
Ａ：「式は、こんな感じかな（＊６）。」
Ｂ：「Ｈはハミルトンの理論で全エネルギーを表してる。実は、ハイゼンベルクの運動方程式をこの形で書いたのはディラック（＊７）という人だよ。」
Ａ：「それじゃ、ディラックの運動方程式を書いた人はハイゼンベルク？」
Ｂ：「勿論、ディラックさ。」
Ａ：「君はディラックのファンみたいね。」

（＊１）
　i・ｄＸ／ｄτ＝［Ｘ,Ｈ］

（＊２）
　ｄＸ'／ｄτ＝γ・（ｄＸ／ｄτ−Ｖ・ｄｔ／ｄτ）
　Ｈ'＝γ・（Ｈ−Ｖ・Ｐ）

（＊３）
　Ａ'1＝γ・（Ａ1−β・Ａ0)
　Ａ'0＝γ・（Ａ0−β・Ａ1)

　i・（ｄＡ'1／ｄｔ’−∂Ａ'1／∂ｔ’）
＝ i・γ^2・（ｄＡ1／ｄｔ−∂Ａ1／∂ｔ−β・（ｄＡ0／ｄｔ−∂Ａ0／∂ｔ））
＝γ^2・（［Ａ1,Ｈ］−β・［Ａ0,Ｈ］）

　［Ａ1',Ｈ'］
＝γ^2［Ａ1−β・Ａ0,Ｈ−Ｖ・Ｐ］
＝γ^2（［Ａ1,Ｈ］−β［Ａ0,Ｈ］−Ｖ［Ａ1,Ｐ］−β・Ｖ［Ａ0,Ｐ］）

（＊４）
　i・（ｄＡ'1／ｄｔ’−∂Ａ'1／∂ｔ’）＝［Ａ1',Ｈ'］
　i・（ｄＡ1／ｄｔ−∂Ａ1／∂ｔ）＝［Ａ1,Ｈ］
　i・（ｄＡ0／ｄｔ−∂Ａ0／∂ｔ）＝［Ａ0,Ｈ］

（＊５）
　ｄＡ（ｘ,ｔ）／ｄｔ＝∂Ａ／∂ｔ＋（∂Ａ／∂ｘ）・（ｄｘ／ｄｔ）

（＊６）
　i・（ｄＡ／ｄｔ−∂Ａ／∂ｔ）＝［Ａ,Ｈ］

（＊７）ネタ本
リプリント　量子力学［第4版］