水面下

Ａ：「時間微分と［］内の関係がイマイチよく分かってない。」
Ｂ：「結果だけみてると、水面下で何が起こってるか分からないんだ。」
Ａ：「演算子Ａ（Ｘ）をＸの関数として、
　　　i・ｄＡ（Ｘ）／ｄｔ＝［Ａ（Ｘ）,Ｈ（Ｐ）］を計算してみれば、何か分かるかもしれない。」
Ｂ：「Ａ（Ｘ）をマクローリン展開すると、こうなる（＊１）。
　　　Ａn（０）はＡ（Ｘ）をｎ回Ｘで微分してＸをゼロとおいたもの。Σはｎを０から∞まで足し合わせるという意味だよ。」
Ａ：「ｎに！がついたものは、１からｎまで掛け算するってことだね。
　　　この計算には、先ず［Ｘ^n,Ｈ（Ｐ）］の計算をやる必要がある。」
Ｂ：「Ｘ＝i・∂pとおいて計算してもいいけど、今日はこの公式（＊２）を使ってやってみよう。」
Ａ：「Ｂ＝Ｃ＝Ｘで、Ｄ＝Ｈとおくと、Ｘ［Ｘ,Ｈ］＋［Ｘ,Ｈ］Ｘ＝２・Ｘ・［Ｘ,Ｈ］がでる。［Ｘ,Ｈ］はi・ｄＸ／ｄｔだったな。
　　　［Ｘ^n,Ｈ］＝Ｘ［Ｘ^n-1,Ｈ］＋［Ｘ,Ｈ］Ｘ^n-1で、帰納法（＊３）を使えば、
　　　　ｎ・Ｘ^ｎ−１・（i・ｄＸ／ｄｔ）が得られる。」
Ｂ：「帰納法なんて知ってるの？」
Ａ：「きのう授業でやったから。」
Ｂ：「・・・。」
Ａ：「ともかく、この結果（＊４）になる。」
Ｂ：「この｛｝内はＡ（Ｘ）をＸで微分したものだよ。」
Ａ：「つまり、（ｄＡ（Ｘ）／ｄＸ）・（i・ｄＸ／ｄｔ）だから、Ｘ（ｔ）の場合の時間微分を計算したことになる。」
Ｂ：「水面下では、あまりなじみのない計算をやってみたけど、
　　　出てきた結果は大したものじゃなかったね。」

（＊１）
　Ａ（Ｘ）＝ΣＡn（０）・Ｘ^ｎ／ｎ！

（＊２）
　［Ｂ・Ｃ,Ｄ］＝Ｂ［Ｃ,Ｄ］＋［Ｂ,Ｄ］Ｃ

（＊３）
　ｎ＝１：　　［Ｘ,Ｈ］＝i・（ｄＸ／ｄｔ）
　ｎ＝k-1:　　［Ｘ^k-1,Ｈ］＝（k-1）・Ｘ^k-2・［Ｘ,Ｈ］
　ｎ＝k:　　　［Ｘ^k ,Ｈ］＝Ｘ［Ｘ^k-1,Ｈ］＋［Ｘ,Ｈ］Ｘ^k-1
　　　　　　　　　　　　　 ＝｛（k-1）・Ｘ^k-1＋Ｘ^k-1｝・［Ｘ,Ｈ］
　　　　　　　　　　　　　 ＝ k・Ｘ^k-1・［Ｘ,Ｈ］
（＊４）
　［Ａ（Ｘ）,Ｈ（Ｐ）］＝｛ΣＡn（０）・Ｘ^n-1／(ｎ−１）！｝・（i・ｄＸ／ｄｔ）