運動方程式

Ａ：「ローレンツ変換式の計算にも大分慣れてきたよ。」
Ｂ：「アインシュタインは特殊相対性理論からさらに進んで、誰も注文しなかった一般相対性理論を編み出した人なんだよ。これはかなり数学的だからやらない。
　　　これまで量子論のサワリの部分は計算している。」
Ａ：「相対論は高速世界に適用され、量子論はミクロ世界に適用されていて、２つが繋がってるのが意味深だ。あの世とこの世が繋がってるって感じ。」
Ｂ：「ここから先は、アインシュタインの出番は殆どなくなってくるけど、また少し数学でお絵かきをやってみようと思う。まずは、
　　　Ｈ＝√（（Ｐ・ｃ）^2＋（ｍ・ｃ^2）^2）から出発する。」
Ａ：「ＨはＥじゃないの？」
Ｂ：「ＨとＰは演算子で時間ｔの関数としてる。Ｈ（ｔ）とＰ（ｔ）のこと。ｔ＝ｔ0のときＥ＝Ｈ（ｔ0）とするんだ。質量ｍは定数として、√の前の符号はプラスにしている。」
Ａ：「前にやった式から、ｄＨ／ｄＰ＝ｃ^2・Ｐ／Ｈ＝ｖgがでる筈だ。」
Ｂ：「それを確かめるのさ。
　　　君の座標で位置の演算子をＸ（ｔ）として、交換関係［Ｘ（ｔ）,Ｈ（ｔ）］を計算してみよう。」
Ａ：「どうやって？」
Ｂ：「Ｘ＝i・∂kとして、ｈ＝２・πとするとき、Ｐ＝ｋだから、Ｘ＝i・∂Pと書ける。
　　　そこで、Ｐの関数Ｆ（Ｐ）とＸの交換関係［Ｘ,Ｆ（Ｐ）］を計算しよう。」
Ａ：「こうなって（＊１）、Ｆ（Ｐ）をＰで偏微分してiが掛かる。」
Ｂ：「Ｆ（Ｐ）をＨとおいたらどう？」
Ａ：「簡単。
　　　（i・∂P） Ｈ（Ｐ）＝i・Ｐ・ｃ^2／Ｈだ。これはｖgにiを掛けたものだ。」
Ｂ：「ｖgは群速度だから、ｄＸ（ｔ）／ｄｔのことだよ。
　　　時間ｔが変っても、［Ｘ（ｔ）,Ｈ（ｔ）］の関係が同じだとすると、この式が出る（＊２）。
　　　これはハイゼンベルクの運動方程式と呼ばれている。」
Ａ：「ハイゼンベルクって誰？」
Ｂ：「不確定性原理を言い出したチョーホンニンさ。」
Ａ：「運動量Ｐ（ｔ）の場合は？」
Ｂ：「Ｘ（ｔ）をＰ（ｔ）に置き換えればいい（＊３）。
　　　この場合、［Ｐ,Ｈ］＝０だから、ｄＰ（ｔ）／ｄｔ＝０となって、運動量は一定となる。」
Ａ：「うーん、かなり神秘的な感じ。」
Ｂ：「複素数の波の関数φは波動関数といって、この場合には時間ｔの関数でない。ハイゼンベルクの見方では、波の状態は時間に関係なくて、演算子の方が時間とともに変っていくんだ。」
Ａ：「何のことやらさっぱり。」
Ｂ：「まあ、最初はそんなもんだから気落ちしないで。君が直ぐに分かったとしたら奇蹟認定の申請を出すところだよ。」

（＊１）
　［Ｘ,Ｆ（Ｐ）］φ
＝i・∂P（Ｆ（Ｐ）φ） −Ｆ（Ｐ）・(i・∂P)φ
＝（i・∂P Ｆ（Ｐ））φ＋Ｆ（Ｐ）・(i・∂P)φ−Ｆ（Ｐ）・(i・∂P)φ
＝（i・∂P Ｆ（Ｐ））φ

（＊２）
　i・ｄＸ（ｔ）／ｄｔ＝［Ｘ（ｔ）,Ｈ（ｔ）］

（＊３）
　i・ｄＰ（ｔ）／ｄｔ＝［Ｐ（ｔ）,Ｈ（ｔ）］