関係

Ａ：「これまでのところをまとめると、β＝Ｖ／ｃ＝tanh(Θ）だから、相対速度Ｖの合成式はtanh(Θ）の加算式に従うってことだ（＊１）。」
Ｂ：「群速度ｖgと位相速度ｖpの関係は、ｖg・ｖp＝ｃ^2だったね。」
Ａ：「つまり、β^2＝Ｖ^2／(ｖg・ｖp)＝（tanh(Θ））＾2が得られる。
　　　ラピディティΘの値は−∞から＋∞の範囲で、tanh(Θ）の絶対値は１を超えない（＊２）から、Ｖ^2≦ｖg・ｖpの関係が出てくる。」
Ｂ：「相対速度Ｖの大きさは光速ｃを超えないことが分かる。」
Ａ：「Ｖの合成式（＊３）で、Ｖ1＝ｖg、Ｖ2＝Ｖとおくと、こうなる（＊４）。
　　　ｖpの合成式が出る。」
Ｂ：「Ｖ1＝ｖp、Ｖ２＝Ｖとおけば、同じようにしてｖgの合成式が出せる。
　　　ｖgでもｖpでも相対速度として観測できるなら、光速ｃを超えないという結論になる。」
Ａ：「ここまで到達する速さが光速ｃを超えられたらよかったんだけどなぁ。」
Ｂ：「僕が君のことをずっと観察できてたんだから、それは無理でしょう。」

（＊１）
　tanh(Θ1＋Θ2）＝［tanh(Θ1）＋tanh（Θ2）］／［１＋tanh(Θ1）・tanh（Θ2）］

　βi＝Ｖi／ｃ＝tanh（Θi） i=1or2or3

　Ｖ3＝（Ｖ1＋Ｖ2）／（１＋Ｖ1・Ｖ2／ｃ^2）

（＊２）
tanh(Θ）＝（exp(Θ）−exp(−Θ））／（exp(Θ）＋exp(−Θ））
　　　　　＝（１−exp(−２・Θ））／（１＋exp(−２・Θ））
　　　　　＝（exp(２・Θ）−１）／（exp(２・Θ）＋１）

（＊３）
　Ｖ3＝（ｖg・ｖp）・（Ｖ1＋Ｖ2）／（ｖg・ｖp＋Ｖ1・Ｖ2）

（＊４）
　Ｖ3＝ｖg・（ｖg・ｖp＋ｖp・Ｖ）／（ｖg・ｖp＋ｖg・Ｖ）
　　 ＝（ｃ^2＋ｖp・Ｖ）／（ｖp＋Ｖ）

　ｃ^2／Ｖ3＝ｖp'＝（ｖp＋Ｖ）／（１＋ｖp・Ｖ／ｃ^2）　∵Ｖ3＝ｖg'