推理

Ａ：「この間の人は、どうやって相対速度の式を出せたのかな？」
Ｂ：「僕の推理では、君のノートに書いてあった式（＊１）を見たからだと思うよ。」
Ａ：「たったそれだけで？」
Ｂ：「ΘをΘ1＋Θ2とおいてβ3を出すには、tanh(Θ1＋Θ2）をtanh(Θ1）とtanh（Θ2）で表す公式（＊２）を知っている必要がある。」
Ａ：「tanh(Θ1）＝β1とtanh（Θ2）＝β2だから、β3＝（β1＋β2）／（１＋β1・β2）が出るって訳か。」
Ｂ：「Θはラピディティといって、tanh（）の逆関数arctanh（)から計算できる（＊３）。　　　ln（）は自然対数関数で、ln（exp(1)）＝１だよ。」
Ａ：「この式（＊４）から出発して、さっきの公式（＊２）を出すのは、・・・そう楽ではないよ（＊５）。」
Ｂ：「公式を記憶してたとしたら、そうでもないさ。」
Ａ：「やっぱりタダモノではなかった。」
Ｂ：「速度の定義はいろいろ違っていても、同じ形になるってことが面白いんだ。」
Ａ：「僕はそれよりも、君に探偵趣味があることの方が興味深いよ。」

（＊１）
　tanh（Θ）＝β

（＊２）
　tanh(Θ1＋Θ2）＝［tanh(Θ1）＋tanh（Θ2）］／［１＋tanh(Θ1）・tanh（Θ2）］

（＊３）
　Θ＝（１／２）・［ln（１＋β）−ln（１−β）］

（＊４）
　tanh(Θ1＋Θ2）＝［exp（Θ1＋Θ2）−exp（-Θ1-Θ2）］／［exp（Θ1＋Θ2）＋exp（-Θ1-Θ2）］

（＊５）
　Θ1＋Θ2＝（１／２）・ln（（１＋β1）・（１＋β2）／（１−β1）／（１−β2））
Ａ＝exp(Θ1＋Θ2）＝√（（１＋β1）・（１＋β2）／（１−β1）／（１−β2））とおくと、
　tanh(Θ1＋Θ2）＝（Ａ−1/Ａ）／（Ａ＋1/Ａ）
　　　　　　　　 ＝（Ａ^2−１）／（Ａ^2＋１）
　　　　　　　　 ＝［２・（β1＋β2）］／［２・（１＋β1・β2）］