群速度

Ａ：「４元運動量ベクトルから何か出てこないか、考えてみたんだ。」
Ｂ：「最近、君はマジメに取り組んでるね。」
Ａ：「試験に出ないことには興味が湧いて来るのさ。」
Ｂ：「それで、何か見つかった？」
Ａ：「Ｅ＝±√（（ｐ・ｃ）^2＋（ｍ・ｃ^2）^2）をｐで微分すると、
　　　ｄＥ／ｄｐ＝±２・ｐ・ｃ^2／（２・Ｅ）が出る。
　　　Ｅ・ｖ＝ｐ・ｃ^2を使うと、ｄＥ／ｄｐ＝±ｖとなる。」
Ｂ：「波には群速度ｖgというのがあって、これを位相速度ｖpと区別している。」
Ａ：「群速度ｖgと位相速度ｖpにはどんな関係があるの？」
Ｂ：「位相速度はｖp＝ω／ｋ＝Ｅ／ｐだから、
　　　　　　Ｅ・ｖg＝ｐ・ｃ^2をｐで割ると、
　　　　 　ｖp・ｖg＝ｃ^2になる。」
Ａ：「ｖpの合成式は
　　　ｖ'p＝（ｖp＋Ｖ）／（１＋（ｖp・Ｖ）／ｃ^2）だから、
　　　これにｖp=ｃ^2／ｖgを入れて計算するとこうなる（＊１）」
Ｂ：「僕の座標でもｖ'p・ｖ'g＝ｃ^2となる。
　　　位相速度と群速度は反比例するのに、速度合成式の方は同じ形だ！」
Ａ：「単なる偶然？」
Ｂ：「では、相対速度Ｖの合成式がどうなるかやってみよう。」

（＊１）
　ｖ'p＝（ｃ^2／ｖg＋Ｖ）／（１＋Ｖ／ｖg）
　ｖ'g＝ｃ^2／ｖ'p
　　　＝ｃ^2・（１＋Ｖ／ｖg）／（ｃ^2／ｖg＋Ｖ）
　　　＝ｃ^2・（ｖg＋Ｖ）／（ｃ^2＋ｖg・Ｖ）
＝（ｖg＋Ｖ）／（１＋（ｖg・Ｖ）／ｃ^2）