複素数

Ａ：「まだ量子のことはよく分かってないけど、波の関数φとはどういう関係があるの？」
Ｂ：「量子力学の場合、φは実数ではなくて複素数なんだ。」
Ａ：「複素数は（実数）＋i・（実数）のこと？」
Ｂ：「そう。関数φは状態を表す関数で振幅と位相がある。
　　　関数φを∂xで偏微分すると、i・（実数）が出てくるから、実数を出すためには演算子∂xに、iか−iを掛けておく必要がある。
　　　φ（δ）を、i∂xで偏微分したときに状態が変らないとすると、
　　　i∂xφ（δ）＝ｋ・φ（δ）で表せる。φ（δ）＝exp（Ｎ（ｘ））とおいてＮ（ｘ）を求めてみよう。
Ａ：「exp()は指数関数でしょう？」
Ｂ：「exp（）は、何回微分しても変らずにヘコタレない、タフな関数なんだ。
　　　これを使うと、i・Ｎ,x・exp（Ｎ）＝ｋ・exp（Ｎ）から、Ｎ＝−i・ｋ・ｘ＋Ｃが出る。Ｃは任意の定数だよ。」
Ａ：「ｔでは、i∂tφ（δ）＝−ω・φ（δ）だから、exp（）の中は、i・ω・ｔ＋Ｄになる。」
Ｂ：「併せると、φ（δ）＝Ａ・exp（−i・（ｋ・ｘ−ω・ｔ））の形になる。ここで、Ａ＝exp(Ｃ＋Ｄ）と置いた。
　　　プランク定数ｈを使って、運動量を出す演算子Ｐを（ｈ／２π）i∂xで定義すると、どうなるかな？」
Ａ：「（ｈ／２π）i∂xφ＝から、運動量（ｈ／２π）・ｋが出る。」
Ｂ：「エネルギーを出す演算子Ｅは（−ｈ／２π）i∂xで定義して、
　　　（−ｈ／２π）i∂tφから、エネルギー（ｈ／２π）・ωが出てくる。
　　　係数ｈ／２πをいちいち付けるの面倒だから、ｈ＝２πとすると、
　　　Ｐφ＝ｋφで、Ｅφ＝ωφとなってすっきりした形になるんだ。」
Ａ：「勝手に変えてもいいの？」
Ｂ：「気にしない。単位なんて誰かが勝手に決めたものだから。」