交換関係

Ａ：「前回は、運動量の演算子Ｐをi∂xとして、エネルギーの演算子Ｅを−i∂tとしたけど、位置と時間の演算子はまだ出て来てない。」
Ｂ：「位置の演算子をＸとおいて、Ｘφ＝ｘ・φとする。」
Ａ：「時間の演算子をＴとおいて、Ｔφ＝ｔ・φとする。」
Ｂ：「量子力学で特に重要なのは、ＰＸ−ＸＰとＥＴ−ＴＥいう演算子なんだ。ＰＸ−ＸＰをφに作用させると、どうなるかな？」
Ａ：「ゼロじゃないの？」
Ｂ：「実は、そうならないんだよ（＊１）。」
Ａ：「Ｐはｘにもφにもかかってる。」
Ｂ：「ＰＸ−ＸＰを［Ｐ,Ｘ］と書いて、［Ｐ，Ｘ］＝iを交換関係と呼んでる。」
Ａ：「ＥとＴでは、［Ｅ，Ｔ］＝−iになるね（＊２）。」
Ｂ：「符号が違うだけ。僕の座標ではダッシュをつければいいから、
　　　［Ｐ'，Ｘ'］＝i
　　 　［Ｅ'，Ｔ'］＝−i
　　になる。」
Ａ：「では、［Ｅ,Ｘ］とか、［Ｐ,Ｔ］はどうなるの？」
Ｂ：「ゼロだよ。」
Ａ：「計算のご利益はないね。」
Ｂ：「そのうちにあると思うよ。」

（＊１）
　（ＰＸ−ＸＰ）φ
＝Ｐ（ｘ・φ）−Ｘ（ｋ・φ）
＝i∂x（ｘ・φ）−ｋ・（Ｘφ）
＝i（φ＋ｘ・φ,x）−（ｋ・ｘ）・φ
＝i（φ−ｘ・iｋ・φ）−（ｋ・ｘ）・φ
＝iφ＋（ｘ・ｋ）・φ−（ｋ・ｘ）・φ
＝iφ

（＊２）
　（ＥＴ−ＴＥ）φ
＝Ｅ（ｔ・φ）−Ｔ（ω・φ）
＝−i∂t（ｔ・φ）−ω・（Ｔφ）
＝−i（φ＋ｔ・φ,t）−（ω・ｔ）・φ
＝−i（φ＋ｔ・iω・φ）−（ω・ｔ）・φ
＝−iφ＋（ｔ・ω）・φ−（ω・ｔ）・φ
＝−iφ