双曲

Ａ：「今日は、この間の続きだよね。」
Ｂ：「何か気合が入ってるみたいだな。」
Ａ：「∂T'∂X'を∂Xと∂Tで表すには、変換式同士の掛け算を展開すればいいから（＊１）、
いちおう計算できたよ。
　　　∂T'∂X'φ（δ'）＝∂T∂Xφ（δ）にならないといけないから、∂XXと∂TTの係数はゼロにしないといけない。」
Ｂ：「Ｓ21かＳ11がゼロで、Ｓ22かＳ12がゼロだね。とりあえず、Ｓ21とＳ12をゼロにしてみよう。」
Ａ：「Ｓ22・Ｓ11＝１とすればいい。」
Ｂ：「指数関数exp()を使って、Ｓ11＝exp(Θ）とおけば、Ｓ22＝exp（−Θ）だ。」
Ａ：「Θは何？」
Ｂ：「いまは気にしなくてもいいさ。」
Ａ：「変換式は∂X'＝exp(Θ）∂Xと、∂T'＝exp(-Θ）∂Tになる。XとTを元に戻せば、こうなるよ（＊２）。２つの式を足したり引いたりすれば、∂xと∂tの変換式が出てくる。」
Ｂ：「こういうときには、双曲線関数（＊３）が便利なんだ。」
Ａ：「これを使うと、すっきりした形（＊４）になる。」
Ｂ：「ここで、tanh（Θ）＝sinh（Θ）／cosh（Θ）をβとおくんだ。cosh（Θ）の２乗からsinh（Θ）の２乗を引くと１になる性質がある。」
Ａ：「三角関数の場合には、cos（Θ）の２乗とsin（Θ）の２乗を足すと１になるけど。」
Ｂ：「１からtanh（Θ）の２乗を引くと、１−β^2＝［１／cosh（Θ）］^2だから、cosh（Θ）をβで表すことができる。sinh（Θ）は、［cosh（Θ）］^2−１の平方根から出せる。」
Ａ：「cosh（Θ）＝１／√（１−β^2）で、sinh（Θ）＝β／√（１−β^2）となるよ。これをさっきの変換式に代入すれば、一件落着となって桜吹雪が舞い落ちる。」
Ｂ：「どうもお疲れさま。」
Ａ：「でも、どうしてtanh（Θ）がβだって分かったの？」
Ｂ：「少し先回りしてズルしたんだ。」
Ａ：「そこが君のいけないところなんだ。」
Ｂ：「βが何かなんて気にしないでお開きにして花見に行こうよ。」
Ａ：「君らしくもない。」

（＊１）
　∂T'∂X'φ＝（Ｓ21・∂X　＋Ｓ22・∂T）・（Ｓ11・∂X　＋Ｓ12・∂T）φ

＝［Ｓ21・Ｓ11∂XX　＋（Ｓ21・Ｓ12＋Ｓ22・Ｓ11）∂TX　＋Ｓ22・Ｓ12∂TT］φ

（＊２）
　∂x'＋（１／ｃ）∂t'＝exp (Θ）［∂x＋（１／ｃ）∂t］
　∂x'−（１／ｃ）∂t'＝exp(−Θ）［∂x−（１／ｃ）∂t］

（＊３）
　cosh（Θ）＝[exp(Θ)＋exp（-Θ）]／２
　sinh（Θ）＝[exp(Θ)−exp（-Θ）]／２

（＊４）
　∂x'＝　　cosh(Θ）∂x ＋ (１／ｃ）・sinh（Θ）∂t
　∂t'＝ｃ・sinh(Θ) ∂x ＋　　　　　　cosh（Θ）∂t