同形

Ａ：「昨日は眠いのを我慢して、∂Xと∂Tの変換式を使ってｋとωの変換式を計算してみたんだ。
　　　βのことも調べてみたさ。」
Ｂ：「位置ｘとｃ・ｔの場合と同じ形になった？」
Ａ：「φ（δ'）をｘ’で偏微分すると、ｋ’が出て、
　　　φ（δ）をｘで偏微分すると、ｋが出て係数はγだ。
　　　φ（δ）をｔで偏微分すると、−ωが出て係数はγ・（β／ｃ）だ。
　　　∂t'と∂tも同じ要領で計算したよ。
　　　結果は、ここに書いてあるよ（＊１）。ｘとｃ・ｔの場合はこちら（＊２）。
　　　どうやら４元ベクトルは同じ形の変換するをするようだ。」
Ｂ：「位相速度の合成式はどう？」
Ａ：「ｖ'p＝ω’／ｋ'から計算すると出てくる（＊３）。前にやった速度の合成式と同じ形だよ。君が、僕から見て位相速度ｖpの波に揺られて移動する場合、ｖpは相対速度Ｖと同じになる。ｖ'p＝０＝ｖp／ｃ−βから、β＝ｖp／ｃ＝Ｖ／ｃが分かる。」
Ｂ：「ここでもＶは光速ｃ以下だね。」
Ａ：「筋書き通りにいって内心はホッとしてるんでしょう？」
Ｂ：「いや、心配はしていなかったよ。君を信じてたからね。」
Ａ：「ほんとに？」
Ｂ：「数学ってのは誰が計算しても同じ結果になるから。」
Ａ：「なんだ、それでか。」

（＊１）
　ｋ’　 ＝γ・［ｋ−β・（ω／ｃ）］
　ω'／ｃ＝γ・［（ω／ｃ）−β・ｋ］

　　γ＝√（１−β^2）

（＊２）
　ｘ’　 　＝γ・［ｘ−β・（ｃ・ｔ）］
　ｃ・ｔ'　＝γ・［（ｃ・ｔ）−β・ｘ］

（＊３）
　ｖ'p／ｃ＝（ｖp／ｃ−β）／［（１−β・（ｖp／ｃ）］