ベクトル

Ａ：「ちょっと気になることがあるんだ。
　　　波数ｋの向きは、ｘ軸方向としてるの？」
Ｂ：「３つの成分ｋx，ｋy,ｋｚによって向きが決まる。例えば、全部同じ値なら、ｘｙｚ直交座標で（１，１，１）の方向ってことだよ。ｋの向きをｘ軸方向に選ぶと、その正方向に進む波の位相をｋ・ｘ−ω・ｔで表すことができる。」
Ａ：「ωはどう？」
Ｂ：「角周波数には大きさがあるだけ。だから、（ｋx,ｋy,ｋz,i(ω／ｃ））を４成分のベクトルとしてまとめたものを４元ベクトルと呼んでる。iは虚数だよ。」
Ａ：「じゃ、（ｘ,ｙ,ｚ,i（ｃ・ｔ））も４元ベクトルってことだ。」
Ｂ：「この２つを成分ごとに掛け合わせて合算したものをベクトルの内積といって、
　　　（ｋx）・ｘ＋（ｋy）・ｙ＋（ｋz）・ｚ−(ω／ｃ）（ｃ・ｔ）
　　　となる。虚数iの２乗からマイナスの符号が出るんだ。」
Ａ：「３元ベクトルｋ＝（ｋx,ｋy,ｋz）に平行な方向を改めてｘ軸に設定すると、位相ｋ・ｘ−ω・ｔが出る訳か。」
Ｂ：「そういうことだよ。３次元から４次元に移るには、iが必要になる。」
Ａ：「Ｉ　ｓｅｅ。」
Ｂ：「形式的に分かった気になるだけさ。」