テンソル

Ａ：「６元角運動量Ｌの成分は６個あって、１５通りの交換関係を計算してるんだけど、まだ１つしかやってない。」
Ｇ：「角運動量Ｌμνはベクトルではなく、反対称テンソルよ。」
Ａ：「反対称テンソル？」
Ｇ：「反対称というのは、μとνを入れ替えると符号が変わるってこと。」
Ａ：「μとνが同じだと成分はゼロ。残り１２個の半分は符号が違うだけ。」
Ｇ：「でも４成分のベクトルのような訳にはいかないでしょ。」
Ａ：「基本成分が２個多いだけなのに、ややこしい。」
Ｇ：「回数稼ぎのために、残り１４個をこれから毎回やるつもり？」
Ａ：「ノー。そんなヒマないって君が言うのは分かってるつもりさ。」
Ｇ：「それじゃ、どうするの？」
Ａ：「公式でも探すかな。」
Ｇ：「自分で見つければいいわ。」
Ａ：「どうやって？」
Ｇ：「演算子ＬとＸとの交換関係［Ｌ,Ｘ］、
　　　演算子ＬとＰとの交換関係［Ｌ,Ｐ］は分かる？」
Ａ：「［Ｌ,Ｘ］はこう（＊１）で、［Ｌ,Ｐ］はこうだよ（＊２）。」
Ｇ：「よくできました。ここからは単なる数学だけど、
　　　［Ｌ,ＸjＰk］
　＝［Ｌ,Ｘj］Ｐk＋Ｘj［Ｌ,Ｐk］　
　　を計算する（＊３）。
　　ｊとkを入れ替えれば、
　　　［Ｌ,ＸkＰj］　はすぐに出るわ。
　これらを引き算すれば、Ｌ＝Ｌabとおいて、
　　［Ｌab,Ｌjk］が求まるってことね。後は任せるわ。」
Ａ：「手を使った単純労働か。」

（＊１）
　［Ｌ,Ｘ］＝−i∂Ｌ/∂Ｐ

（＊２）
　［Ｌ,Ｐ］＝＋i∂Ｌ/∂Ｘ

（＊３）
　　［Ｌ,ＸjＰk］＝−i（∂Ｌ/∂Ｐj）Ｐk＋Ｘj(i∂Ｌ/∂Ｘk)