行列式

Ａ：「この前から、Ｘμσμの計算をやってたんだ。」
Ｇ：「何か出てきたの？」
Ａ：「特になし。」
Ｇ：「ちょっと、そのノート見せて（＊１）。」
Ａ：「Ｘμの２乗和を計算してたんだ（＊２）。」
Ｇ：「ｊとｋが違う場合の反交換関係｛σj,σk｝＝０を使った訳ね。」
Ａ：「地道に計算すると、（Ｘjσj）^2は、Ｘjの２乗和にσ0を掛けたのが出てくる。」
Ｇ：「そういうときには、行列式を使うといいわよ（＊３）。」
Ａ：「行列式？」
Ｇ：「２行２列だから、対角成分同士を掛け算して、差を求めればいいの。」
Ａ：「どうして君は、そういう姑息な計算をしたがるのかな。」
Ｇ：「仕方ないでしょ、君の計算にゆっくり付き合ってるヒマな時間はないんだから。」

（＊１）
　σμ＝（σ0,σ1,σ2, σ3)
　μσ＝（σ0,-σ1,-σ2,-σ3)　　　　jσ＝−σj (j =1,2,3)
　
（＊２）
　Ｘμ・σμ＝Ｘ0σ0＋Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3
　Ｘμ・μσ＝Ｘ0σ0ー（Ｘ1σ1＋Ｘ2σ2＋Ｘ3σ3）

　(Ｘμ・σμ）（Ｘμ・μσ）＝（Ｘ0σ0)^2＋（Ｘjσj）Ｘ0-Ｘ0（Ｘjσj）−（Ｘjσj）^2

（Ｘjσj）^2＝（Ｘ1σ1)^2＋（Ｘ2σ2)^2＋（Ｘ3σ3)^2
＋Ｘ1Ｘ2（σ1σ2＋σ2σ1)
＋Ｘ2Ｘ3（σ2σ3＋σ3σ2)
＋Ｘ3Ｘ2（σ3σ1＋σ1σ3)

　(Ｘμ・σμ）（Ｘμ・μσ）＝（Ｘ0^2−Ｘ1^2−Ｘ2^2−Ｘ3^2）σ0

（＊３）
｜Ｘμ・σμ｜
＝｜(（Ｘ0＋Ｘ3, Ｘ1−iＸ2）, （Ｘ1＋iＸ2, Ｘ0−Ｘ3）)|
＝（Ｘ0＋Ｘ3）（Ｘ0−Ｘ3）−（Ｘ1＋iＸ2,）（Ｘ1−iＸ2）
＝Ｘ0^2−Ｘ3^2−Ｘ1^2−Ｘ2^2