ブーストと回転

Ａ：「exp（σ1η）が、ｘ1軸方向のローレンツブーストの変換だから、
　　　ｘ2軸方向の場合、exp（σ2η）で、
　　　ｘ3軸方向の場合、exp（σ3η）となる（＊１）。
　　あれ！　見覚えのある式だ。
　　　exp（iσ1θ）が、ｘ1軸回りの回転なら、
　　　ｘ2軸回りの場合、exp（iσ2θ）で、
　　　ｘ3軸回りの場合、exp（iσ3θ）となる（＊２）。」
Ｃ：「何の計算をしてるのかな？」
Ａ：「君が教えてくれた回転行列は役に立ったよ。ありがとう。」
Ｃ：「ほんとに？」
Ａ：「計算自体は何の役にも立たないんだ。」

（＊１）
j=2or3

X’0σ0＋X’jσj
＝exp（σjη）（X0σ0＋Xjσj)
＝((coshη）σ0＋（sinhη）σj）（X0σ0＋Xjσj)
＝(Ｘ0coshη＋Ｘjsinhη）σ0＋（Xｊcoshη＋X0sinhη)σj

Ｘ’0＋Ｘ’3＝exp(η）（Ｘ0＋Ｘ3)
Ｘ’0−Ｘ’3＝exp(−η）（Ｘ0−Ｘ3)

（＊２）

X’1σ1＋X’3σ3
＝exp（iσ2θ）（X1σ1＋X3σ3)
＝((cosθ）σ0＋i（sinθ）σ2）（X1σ1＋X3σ3)
＝(Ｘ1cosθ-Ｘ3sinθ）σ1＋（X3cosθ＋X1sinθ)σ3

X’1σ1＋X’2σ2
＝exp（iσ3θ）（X1σ1＋X2σ2)
＝((cosθ）σ0＋i（sinθ）σ3）（X1σ1＋X2σ2)
＝(Ｘ1cosθ＋Ｘ2sinθ）σ1＋（X2cosθ−X1sinθ)σ2